So, wir haben jetzt das äußere Maß definiert und wir sehen, wir können auch schon paar schöne

Eigenschaften zeigen, die schon nah an dem Maß drin sind. Eins, was wir nicht zeigen konnten,

oder uns gar nicht angeschaut haben, aber was wir auch tatsächlich nicht zeigen können, ist

tatsächlich Additivität. Wir können nur Subadditivität zeigen. Damit wir Additivität

zeigen können, müssen wir uns von der Potenzmenge einschränken auf eine kleinere Menge, was wieder

eine Sigma-Algebra sein wird. Und diese Menge, was das sein wird, ist durch die sogenannte

Karatheodorie Bedingungen gegeben. Karatheodorie waren Mathematiker, der sich das überlegt. Und diese

ganzen Terme hier der Form, diese Idee, testen mit einer Menge in der Form Schnitt plus Mengendifferenz,

ist das grundlegende Konzept hier. Definition, Karatheodorie-Messbarkeit,

eine Menge A aus R hoch N heißt, so und das kann man jetzt Karatheodorie-Messbar nennen oder Lebesque-Messbar.

Ich entscheide mich folgendermaßen, ich gebe Karatheodorie den Credit, den er verdient,

weil er sich das ausgedacht hat, nämlich die Definition so nennen, nenne es aber dann Lebesque-Messbar,

weil es einfach besser zum Framework passt. Eine Menge heißt Lebesque-Messbar-Falsse, so und jetzt

kommt Lambda-Stern von E, eine beliebige Testmenge, ist gleich Lambda-Stern von E geschnitten,

A plus Lambda-Stern von E ohne A und zwar für alle E-Teilmenge R hoch D. Wenn das gilt, nennen wir

eine Menge Lebesque-Messbar oder Karatheodorie-Messbar. Wir definieren das System der Lebesque-Messbaren

Mengen. Mengen A wird definiert, als alle Teilmengen des R hoch D, die lebeck-messbar sind.

Gut, dieses R wird jetzt unsere Sigma-Algebra, jetzt kommt dann das nächste Lemma.

Lemma, also das erste was wir mal festhalten ist, dass wenn A und B in diesem Mengensystem A sind,

dann folgt daraus, dass A vereinigt B, A geschnitten B und auch die Differenz A ohne B alles wieder in A sind.

Darunter sind die alle stabil und zweitens A ist Sigma-Algebra. Gut, Beweis.

Erstens ist wieder Übung, aber wir werden das jetzt benutzen. Zweitens, das erste was wir zeigen wollen,

dass A eine Sigma-Algebra ist, ist, dass die leere Menge drin liegt. Na ja, schauen wir uns das halt an.

Lambda-Stern von E geschnitten leer plus Lambda-Stern von E ohne leer, das ist Lambda-Stern von der leeren Menge plus

Lambda-Stern von E, das hier ist Null, ist gleich Lambda-Stern von E. Passt, nachgerechnet. Leere Menge ist drin.

Dann müssen wir nachrechnen, dass es unter Komplementbildung verträglich ist. Heißt, A, Element A, daraus folgt,

Lambda-Stern von E geschnitten A-Komplement plus Lambda-Stern von E ohne A-Komplement.

Jetzt muss man wieder die demorganen Regeln kennen oder man malt sich kurz ein Bild hin.

Das ist keine Quadrat, das ist E, das ganze hier ist der R hoch D oder die Obermenge. Jetzt kommt hier A, da können wir uns eine andere Farbe gönnen.

Das ist jetzt A und wenn wir jetzt E geschnitten mit A-Komplement, das alles außen rum ist, ist es dasselbe wie E ohne A.

Das ist gleich Lambda-Stern von E ohne A und genauso sieht man das E ohne A-Komplement.

Ohne alles, was nicht in A drin liegt, bleibt der Teil übrig, das ist Lambda-Stern von E geschnitten A.

Per Annahme, weil A messbar war, ist das Lambda-Stern von E. Damit haben wir gezeigt, auch A-Komplement ist messbar.

Das letzte, was zu zeigen bleibt, ist die Sigma-Additivität. Die dauert jetzt wieder ein bisschen länger.

Wir nehmen zuerst an A-K eine Folge des Jungtermengen.

Eine Folge des jüngten Mengen.

Ich überlege gerade, bevor ich jetzt mittendrin, dann wische ich zuerst.

Ich habe jetzt oben frei gemacht, hier unten habe ich jetzt noch glassen.

Ich habe schon mal markiert, um was es mir jetzt geht und zwar um den ersten Termin.

Den Termin von der Form E geschnitten A.

Das war jetzt nicht A-Komplement, aber halt für diese A-Ks.

Das Beste, was ich jetzt mal machen kann, ist mir das für zwei anzuschauen.

Also für ganz wenige, für endlich viele.

Ich schaue mir an Lambda-Stern von E geschnitten A1 vereinigt A2.

Das ist ja so ein Termin, der hier auftritt.

Ein Trick und zwar, ich benutze das jetzt, die ganze Menge, als Testmenge für A1.

A1 ist messbar.

Heißt, ich darf das schreiben als Lambda-Stern von E geschnitten A1 vereinigt A2.

Jetzt geschnitten A1 plus Lambda-Stern von E geschnitten A1 A2.

Das bleibt gleich ohne A1.